Sistemas de numeración
Podemos decir que un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que representan datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
En un sistema de numeración posicional, se le llama base al número que define el orden de magnitud en que se ve incrementada cada una de las cifras sucesivas que componen el número. Es también la cantidad de símbolos presentes en dicho sistema.
sistemas de numeración
sistemas de numeración
Sistema binario
(basado en 2)
Sistema octal
Sistema octal
(basado en 8)
Sistema decimal
Sistema decimal
(basado en 10)
Sistema duodecimal
Sistema duodecimal
(basado en 12)
Sistema hexadecimal
(basado en 16)
Sistema sexagesimal
Sistema sexagesimal
(basado en 60)
Paul DIvoi en 1859 escribió en Le Figaro "El sistema decimal es conveniente, dice la verdad, es bueno para contar, multiplicar, dividir, hace imposible el fraude, es uniforme y regular, tiene ventajas innegables, pero es perjudicial para la arquitectura. En cambio, el viejo sistema de medidas, el sistema duodecimal, con un pie que se puede dividir en doce pulgadas, el pulgar en doce líneas, el sou en doce denarios, etc. era beneficioso para la arquitectura"
SISTEMA DE MEDIDA DUODECIMAL
El sistema duodecimal, sistema de numeración de base-doce, también llamado docenal, fundamenta principalmente su defensa en los siguientes argumentos:
- El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12), que son 2, 3, 4 y 6; mientras que el 10 sólo tiene dos factores propios: 2 y 5. Debido a esto, las multiplicaciones y divisiones en base 12 son más sencillas (ver más adelante) y, por tanto, el sistema duodecimal es más eficiente que el decimal.
- Históricamente, el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones. Se cree que la observación de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un año es el motivo por el cual el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas. Algunos ejemplos incluyen el año de 12 meses, 12 signos zodiacales, 12 animales en la astrología china, etc.
- Debido a que el 12 es un número abundante, se emplea con profusión en las unidades de medida, por ejemplo, un pie son 12 pulgadas, una libra troy equivale a 12 onzas, una docena de artículos tiene 12artículos, una gruesa tiene 12 docenas, etc.
EL CONTAR CON LA MANO
En el comercio y la vida cotidiana es muy común usar docenas en lugar de decenas, y gruesas en lugar de centenas. Esto se debe a que el doce tiene más factores que el número diez. El diez se puede dividir por 1, 2, 5 y 10, mientras que el doce se puede dividir en 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Al tener más factores, se puede dividir con mucha más facilidad. Es fácil dividir una doce de huevos en tres, o cuatro, o dos, mientras que dividir una decena de huevos en tres es imposible sin romper un huevo. Es por el pragmatismo del sistema duodecimal que se ha usado en el comercio a través de la historia, independientemente del sistema numérico que se use para contar.
La anatomía de nuestras manos también nos permite contar usando un sistema en base doce, si utilizamos un poco nuestra imaginación. Se puede contar tocando cada falange de los dedos con el pulgar, permitiéndonos llegar hasta doce con una sola mano. Con la segunda mano podemos contar las docenas, por lo que se puede contar hasta ciento cuarenta y cuatro usando un sistema en base doce.
DIVISION DEL TIEMPO
Los astrónomos egipcios dividían el transcurso del sol en doce partes iguales, e igualmente lo hacían con la noche, es decir empleaban un sistema de veinticuatro divisiones. A cada división la denominaban «hora», y como es de suponer su longitud era de duración diferente a lo largo de los días del año. Se empleaba la división mediante el número doce por ser el número entero que posee más divisores tras el número diez.
El número doce también se usa para contar los meses, ya que se hace muy fácil dividir el años en cuatro (cuatro estaciones o trimestres), dos (dos semestres), seis (seis bimestres), etc. Entonces se hace evidente que el número doce es más práctico que el número diez.
La Gnomónica, que es el estudio de la medida del tiempo mediante el empleo de relojes solares, e involucra tanto su diseño como su construcción y sus propiedades geométricas, es uno de los conocimientos que ha de dominar el arquitecto, según el tratado de arquitectura DE ARCHITECTURA escrito en el S. I a.C. por Marco Lucio Vitrubio Polion.
Articulo relacionado
LA ARQUITECTURA, LA GNOMONICA Y LA CONSTRUCCION DE RELOJES DE SOL
MITOLOGIA
El número doce ha tenido un significado especial en la mayoría de las culturas a través de la historia y en el se apoyan diferencias creencias y hechos míticos; doce tribus de Israel, doce apóstoles, doce signos del zodiaco, doce signos zodiacales chinos, las doce labores de Hércules, los doce hijos de Odín, etc.
DOCE TRIBUS DE ISRAEL
Mosaico israelita simbólico de las doce Tribus de Israel. Sinagoga de Givat Mordejai, Jerusalén.
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DOCE APOSTOLES
Ravenna - Santa Maria in Cosmedin - Battistero degli Ariani - Mosaico de la bóveda (siglo. VI).
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DOCE SIGNOS DEL ZODIACO
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DOCE LABORES DE HERCULES
Las doce labores de Hércules. Relieve en sarcófago.
Imagen en Dominio Publico
Los Trabajos y el orden tradicional de los trabajos de Heracles (Hércules)e son:
Matar al León de Nemea y despojarle de su piel.
Matar a la Hidra de Lerna.
Capturar a la Cierva de Cerinea.
Capturar al Jabalí de Erimanto.
Limpiar los Establos de Augías en sólo un día.
Matar a los Pájaros del Estínfalo.
Capturar al Toro de Creta.
Robar las Yeguas de Diomedes.
Robar el Cinturón de Hipólita.
Robar el Ganado de Gerión.
Robar las Manzanas del Jardín de las Hespérides.
Capturar a Cerbero y sacarlo del Inframundo.
Los Trabajos y el orden tradicional de los trabajos de Heracles (Hércules)e son:
Matar al León de Nemea y despojarle de su piel.
Matar a la Hidra de Lerna.
Capturar a la Cierva de Cerinea.
Capturar al Jabalí de Erimanto.
Limpiar los Establos de Augías en sólo un día.
Matar a los Pájaros del Estínfalo.
Capturar al Toro de Creta.
Robar las Yeguas de Diomedes.
Robar el Cinturón de Hipólita.
Robar el Ganado de Gerión.
Robar las Manzanas del Jardín de las Hespérides.
Capturar a Cerbero y sacarlo del Inframundo.
DOCE HIJOS DE ODIN
Odín (nórdico antiguo Óðinn) o Wotan o Woden, es considerado el dios principal de la mitología nórdica y algunas religiones etenas.
Odín (nórdico antiguo Óðinn) o Wotan o Woden, es considerado el dios principal de la mitología nórdica y algunas religiones etenas.
Ilustración del año 1888 realizada por Johannes Gehrts
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Independientemente de que según diferentes autores su descendencia es difícil de concretar, y existen muchos matices e interpretaciones, podemos indicar que
Con una de sus esposas, Jord, tuvo a Thor, con la giganta Gird, a Vidar y con otra giganta, Rind, a Vali. Sin embargo, la diosa que le dio más hijos fue Frigga, madre de Balder, Hoder, Hermod, Tyr y Bragi.
Con una de sus esposas, Jord, tuvo a Thor, con la giganta Gird, a Vidar y con otra giganta, Rind, a Vali. Sin embargo, la diosa que le dio más hijos fue Frigga, madre de Balder, Hoder, Hermod, Tyr y Bragi.
ARITMETICA EN BASE DUODECIMAL
La aritmética puede resultar más sencilla usando la base duodecimal. Mientras que el número 10 tiene sólo 2 factores propios (sin contar el 1 y el mismo número 10): el 2 y el 5, el 12 tiene 4 factores propios: el 2, 3,4 y 6. Debido a esto, las multiplicaciones y las divisiones duodecimal son más sencillas y por tanto muestra ser un sistema más eficiente.
SIMBOLOS NUMERICOS EN LA BASE DUODECIMAL
SIMBOLOS NUMERICOS EN LA BASE DUODECIMAL
Los modernos proponedores de un cambio por el sistema docenal suelen usar doce símbolos para contar, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, un “2” invertido para representar el diez y un “3” invertido para representar el once.
Históricamente se ha utilizado para el 10=X y para el 11=E siendo la letra X parecida a la letra Ji griega en minúscula y se pronuncia "dek" y la letra E como el número 3 al revés pronunciándose "el". Otros cambian la X (Ji griega) por un 2 al revés tal como se ve en la imagen superior. Otro sistema usado es el 10=A y el 11=B, pero la Dozenal Society of America aboga por los símbolos para el 10=* y 11=#. Los 12 símbolos del sistema duodecimal serían por tanto: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,*,#
SISTEMA DE MEDIDA DUODECIMAL ROMANO
Los romanos utilizaron mucho un sistema numérico basado en el doce. Por ejemplo, dividieron el pie en doce partes iguales o unciae (doce pulgadas) y dividieron el año en una docena de meses. El atractivo de este procedimiento proviene del hecho de que el 12 es divisible por bastantes números (2, 3, 4, 6 y 12) y es un asunto fácil dividir una cuerda en mitades, tercios, cuartos, etc. Con la caída del Gran Imperio Romano el siglo V, las variaciones regionales fueron habituales.
PIE
Pie: Unidad de longitud de origen natural, basada en el pie humano, ya utilizada por las civilizaciones antiguas. Si bien los arqueólogos piensan que en cuanto al sistema de medición los egipcios y los mesopotámicos favorecieron el codo, los romanos y los griegos prefirieron el uso del pie como medida.
Originalmente tanto los griegos como los romanos dividieron el pie en 16 dígitos o dedos, pero en los últimos años, los romanos también lo dividieron en 12 unciae (de donde derivan las palabras inglesas inch, "pulgada" y ounce, "onza").
El pie romano, o "pes", equivalía, como media, a 29,57 cm, existiendo varias medidas estandares; el pie carolingio, anteriormente denominado pie drusiano o drúsico —pes drusianus—, equivalía a nueve octavos del romano, esto es, aproximadamente 33,27 cm; y el pie castellano equivalía a 27,8635 cm. En todo caso las particularidades de las diferentes dimensiones en distintas zonas y épocas formalizan un complejísimo muestrario de especificidades.
PULGADA
La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale al ancho de la primera falange del pulgar, y más específicamente a su falange distal.
VARA
La vara, unidad de longitud utilizada en la península ibérica, principalmente España y Portugal, equivalente a 3 pies y cuatro cuartas.
3x4 =12
Otra vez el doce.
El NUMERO DOCE, LA MASONERIA OPERATIVA Y LA CONSTRUCCION
En la simbología de la Masonería, y sus columnas, el numero doce, es fundamental:
Doce es el numero que representa la totalidad de las partes de una unidad, ya sea ésta un ciclo temporal, una medida espacial o una unidad de conciencia. Doce son los signos del zodiaco; doce las tribus de Israel; doce los planetas; doce los dioses principales de la mitología griega, doce los meses del año; los apóstoles de Cristo y doce las piedras preciosas descritas en el apocalipsis como los fundamentos de la ciudad celestial (la Nueva Jerusalén). Así como 12 son los trabajos de Hércules o las 12 letras sencillas del Alfabeto Hebraico y de todas las lenguas madres antiguas.
Doce es el numero que representa la totalidad de las partes de una unidad, ya sea ésta un ciclo temporal, una medida espacial o una unidad de conciencia. Doce son los signos del zodiaco; doce las tribus de Israel; doce los planetas; doce los dioses principales de la mitología griega, doce los meses del año; los apóstoles de Cristo y doce las piedras preciosas descritas en el apocalipsis como los fundamentos de la ciudad celestial (la Nueva Jerusalén). Así como 12 son los trabajos de Hércules o las 12 letras sencillas del Alfabeto Hebraico y de todas las lenguas madres antiguas.
Independientemente de otros orígenes, y teorías mas o menos aceptadas parece asumido de forma general que las grandes construcciones medievales y las catedrales góticas edificadas en Europa fueron obra de masones, (y en francés maçon se traduce como albañil), que agrupados gremialmente en logias, fundamentan lo que se ha denominado Masonería Operativa.
Los Masones Operativos, es decir los Iniciados en el Arte Real de la Construcción, formalizaron en la edad media un cuerpo de hombres libres y de profesión liberal, contratados por los reyes, los nobles y la iglesia, para edificar grandes construcciones en piedra.
Según el articulo "Los Constructores de Catedrales en la Edad Media, Masonería" publicado en la Web Historia y Biografías, "Cada oficio tenía su logia, que reagrupaba a todos los artesanos, y cada logia tenía su reglamento, que todos debían respetar. Los miembros de la logia quedaban bajo la responsabilidad del maestro de obras, del arquitecto y de un capítulo que controlaba y dirigía en ausencia del maestro. Estaban obligados a cumplir toda una serie de normas de conducta: asistir a misa, confesar, pagar una cantidad fija para la ayuda mutua, no dedicarse al juego, no vivir en concubinato, etc… En el seno de la logia se comunicaban entre sí los renombrados secretos." En el articulo se especifica que estos secretos que se logia eran "(...) tanto técnicos como iniciáticos."
Planta general. Catedral de Valladolid, Arquitecto Juan de Herrera
Archivo Catedral de Valladolid
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Igualmente se indica que "El plano de una catedral era una combinación de figuras sencillas (círculos, cuadrados, triángulos) anotadas con indicaciones codificadas. El conjunto constituía un lenguaje geométrico legible solamente para los iniciados, quienes podían levantar el edificio a partir de una representación plana. Un reglamento de los talladores de piedra del s. XV prohíbe comunicar a cualquiera que no forme parte del oficio «cómo deducir el alzado del plano». "
alzado lateral este. Catedral de Valladolid, Arquitecto Juan de Herrera
Archivo Catedral de Valladolid
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La catedral de Valladolid fue proyectada en el siglo XVI como última obra del rey Felipe II por el arquitecto Juan de Herrera, según estilo herreriano, renacentista con elementos con influencia del manierismo.
El 13 de mayo de 1582, Pedro de Tolosa, que había trabajado en el Monasterio de El Escorial y en Villagarcía de Campos, obtuvo la maestría mayor para las obras, haciéndose cargo de ellas bajo la dirección del arquitecto Diego de Praves, hombre de confianza de Juan de Herrera. Murió al año siguiente y le sucedió como maestro de obras su hijo Alonso de Tolosa
El 13 de mayo de 1582, Pedro de Tolosa, que había trabajado en el Monasterio de El Escorial y en Villagarcía de Campos, obtuvo la maestría mayor para las obras, haciéndose cargo de ellas bajo la dirección del arquitecto Diego de Praves, hombre de confianza de Juan de Herrera. Murió al año siguiente y le sucedió como maestro de obras su hijo Alonso de Tolosa
Detalle pilastra. Catedral de Valladolid, Arquitecto Juan de Herrera
Archivo Catedral de Valladolid
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Del mismo modo el articulo "Los Constructores de Catedrales en la Edad Media, Masonería" publicado en la Web Historia y Biografías, de dice que entre los miembros de las Logias "El conocimiento de los materiales, la ciencia de las proporciones armónicas y las leyes de cada oficio, se conservaron también celosamente en secreto."
Baumeister ("maestro de obras"), grabado de Holzschnitt von Jost Amman, 1536.
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Según el articulo Historia de la Masonería Operativa y Especulativa publicado en TARINGA.NET, "“Logia” (del sánscrito LOKA), equivalente a la actual “residencia de obra”. Ahí se reunían los obreros, divididos jerárquicamente según su destreza, talento y antigüedad en el oficio, en tres grados: Aprendices, Oficiales y Maestros. La Logia era dirigida por el colegio de Maestros, encabezado por el Maestro de la Obra. "
En este contexto, la arquitectura se desarrollaba con un complejo esquema de medidas en pulgadas, pies, varas, etc, y relaciones entre partes a base proporciones establecidas, composiciones armónicas, y módulos canónicos.
Los estudios metrológicos de las edificaciones importantes en las épocas medievales, en la edad moderna, incluso en los primeros años de la edad contemporánea, nos muestran que se conciben y desarrollan según un elaboradísimo marco de relaciones aritméticas, y geométricas, entre las distintas partes, y entre estas y el todo, tanto en las plantas como en alzados y secciones.
ESTUDIOS METROLOGICOS O METROLOGIA EN ARQUITECTURAS
En los estudios metrológicos de las arquitecturas históricas se analizan los criterios de orden y proporción y el sistema metrologico aplicado, estudiando el módulo utilizado en los edificios, las formas tipológicas y los cánones de proporción.
Cuando en los Estudios recuperan las leyes de composición y geometría que gestionaron los Proyectos de Arquitectura, se logran entender mejor los Bienes y los valores que les son propios.
Sección transversal San Miguel de Lillo. Oviedo. Asturias
Arquitectura Prerrománica Asturiana, Patrimonio Mundial.
Estudios de Lorenzo Arias Paramo
En la publicación "LA METROLOGÍA DE LA CATEDRAL ROMÁNICA DE JACA: 2" de JUAN FRANCISCO ESTEBAN LORENTE, se indica que:
"La razón existente en el primer tramo de la nave (central 8,95 m.; lateral norte 5,55 m.) es casi exacta a la «divina proporción, o sección áurea», llamémosla desde ahora «Φ» (= 1+√5 / 2 = 1,618033989…)"
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