Por José Ramón Fdez. Vázquez de Prada
La Geometría y el Dibujo Técnico de Arquitectura han estado a lo largo de la Historia íntimamente relacionados, en tanto ambas disciplinas son dependientes entre si.
Para reflexionar sobre los temas geométricos, desarrollar teoremas y poder realizar las oportunas comprobaciones, es preciso la destreza en la ejecución del dibujo geométrico y técnico. Así mismo el dibujo técnico, precisa de los conocimientos establecidos en la geometría para su correcta ejecución.
LA GEOMETRIA
BREVE RESEÑA HISTÓRICA
TALES DE MILETO
TALES DE MILETO
En el año 600 a. C. Tales, filósofo griego nacido en Mileto, llamado TALES DE MILETO, fundador de la filosofía griega, considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia, introdujo la geometría en Grecia, ciencia que aprendió en Egipto.
Sus conocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geométricas.
TEOREMA PRIMERO DE TALES DE MILETO
"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado".
TEOREMA SEGUNDO DE TALES DE MILETO
"Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo".
"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado".
TEOREMA SEGUNDO DE TALES DE MILETO
"Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo".
Tales no dejó escritos: el conocimiento que se tiene de él procede de lo que se cuenta en la Metafísica de Aristóteles.
PITAGORAS
PITAGORAS
copia romana de un original griego de mediados del S. V a.C. El retrato, fechado en el S. II d.C, forma parte de la colección de la Sala de los Filósofos del Museo Capitolino de Roma.
Pitágoras de Samos (ca. 569 a. C. – ca. 475 a. C)
Nacido en la isla de Samos, fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo.
A dicha escuela se le atribuye el estudio y trazado de los tres primeros poliedros regulares: tetraedro, hexaedro y octaedro.
TEOREMA DE PITAGORAS
Su contribución más conocida en el campo de la geometría es el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que:
"en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".
EUCLIDES
Euclides
Euclides,(ca. 325-ca. 265 a.C.), matemático y geómetra griego, considerado el "Padre de la Geometría".
"Los seis libros primeros de la Geometría de Euclides, Traduzidos por Rodrigo gamorano Astrologo y Mathematico, y Cathedratico de Cosmografia por su Magestad en la casa de Contratacio de Seuilla, 1576"
ELEMENTOS DE GEOMETRIA
Su obra principal es "Elementos de geometría", un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como: geometría plana, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio.
Oxyrhynchus papyrus (P.Oxy. I 29)
fragmento de Los Elementos de Euclides
escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Oxyrhynchus), Egipto.
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Nótese el trazo geométrico, que parece recoger en la diferencia de sus trazas, las diferentes naturalezas de los elementos.
ARQUIMEDES
ARQUIMEDES
Nótese que en la representación de Arquímedes se le recoge estudiando y midiendo con un transpositor de medidas, sobre un dibujo de un elemento arquitectónico
Arquímedes (Siracusa 287-212 a. C.), matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica.
TEORIAS EN GEOMETRIA
Inventó formas de medir el área de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas.
Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.
Elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (p), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo, y estableció que este número estaba en 3 10/70 y 3 10/71.
PUBLICACIONES
Los trabajos de Arquímedes que han sobrevivido son los que siguen:
"Sobre los equilibrios del plano" (dos libros),
"Cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro" (dos libros),
"Sobre las espirales, Sobre las cónicas y esferoides, Sobre los cuerpos flotantes" (dos libros),
"Medidas de un círculo",
"Medidas de un círculo",
"El Arenario".
PALIMPSESTO DE ARQUIMEDES.
Texto subyacente, oculto debajo de plegarias
El palimpsesto consta de siete tratados escritos en griego original, entre ellos: Sobre cuerpos flotantes. El Método y el Stomachion.
La transcripción fue hecha posiblemente en el siglo X en Constantinopla hoy Estambul y en el Siglo XIII fue raspado para escribir un libro de oraciones sobre el papiro.
El palimpsesto consta de siete tratados escritos en griego original, entre ellos: Sobre cuerpos flotantes. El Método y el Stomachion.
La transcripción fue hecha posiblemente en el siglo X en Constantinopla hoy Estambul y en el Siglo XIII fue raspado para escribir un libro de oraciones sobre el papiro.
Los trabajos matemáticos de Arquímedes fueron relativamente poco conocidos inmediatamente tras su muerte. Como Clagett escribe:
"A diferencia de los Elementos de Euclides, los trabajos de Arquímedes no fueron ampliamente conocidos en la antigüedad. ... Es cierto que ... trabajos individuales de Arquímedes fueron estudiados en Alejandría, ya que Arquímedes fue a menudo citado por tres eminentes matemáticos de Alejandría: Heron, Papo y Teón. "
"A diferencia de los Elementos de Euclides, los trabajos de Arquímedes no fueron ampliamente conocidos en la antigüedad. ... Es cierto que ... trabajos individuales de Arquímedes fueron estudiados en Alejandría, ya que Arquímedes fue a menudo citado por tres eminentes matemáticos de Alejandría: Heron, Papo y Teón. "
APOLONIO DE PERGA
Apolonio de Perga
Apolonio de Perga (Perge o Pergamo, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.) geómetra griego.
Apolonio de Perga (Perge o Pergamo, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.) geómetra griego.
Su obra sobre las secciones cónicas fue muy reconocida y famosa. Apolonio nombró a la elipse, parábola e hipérbola, para las figuras que conocemos.
Apolonio de Perga, llamado «el Gran Geómetra», que vivió durante los últimos años del siglo III y principios del siglo II a. C. Nació en Perga (en la región de Panfilia, en la actual Turquía). Su mayor aporte a la geometría fue el estudio de las curvas cónicas, que reflejó en su Tratado de las cónicas, que en un principio estaba compuesto por ocho libros o libretas escolares.
PROBLEMAS GEOMETRICOS DE LA ANTIGÜEDAD
DUPLICACION DEL CUBO
TRISECCION DEL ANGULO
CUADRATURA DEL CIRCULO
EDAD MODERNA
En el Renacimiento se establecen nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica, que fundamentan el estudio de las propiedades geométricas con las que obtener formulas que permitan representar la realidad de forma fidedigna, diferenciándose de los sistemas del pasado basado en imágenes .
En este entorno se desarrollan los trabajos del matemático y arquitecto Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto Durero.
LUCA PACIOLI
Fray Luca Bartolomeo de Pacioli o Luca di Borgo San Sepolcro, (Sansepolcro, 1445 - Roma, 1517), fraile franciscano y matemático italiano, precursor del calculo de probabilidades y autor de la obra "De Divina Proportione" (De la Divina Proporción), obra escrita en Milán entre 1496 y 1498.
Il Ritratto di fra' Luca Pacioli con un allievo (Guidobaldo da Montefeltro) 1495
Atribuido a Jacopo de' Barbari (1440–1515).
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DE LA DIVINA PROPORCION
La Obra "De Divina Proportione", que trata sobre lo relativo a la razón o proporción ligada al denominado "número áureo", fue su obra mas importante, reconocida e influyente.
"De divina proportione de Luca Pacioli",
publicada en 1509 en Venice por Paganino Paganini
En la primera parte de "De Divina Proportione" Pacioli trata, también, de los polígonos y la perspectiva, conocimientos usados por los pintores del Quattrocento (Compendio Divina Proportione).
En la segunda parte de "De Divina Proportione, de las ideas arquitectónicas de Vitruvio ("Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita precipitevolissimevolmente");
En la tercera parte de "De Divina Proportione", se trata los sólidos platónicos o regulares ("De quinque corporibus regularibus").
Las ilustraciones y dibujos son de Leonardo da Vinci, que en la época formaba parte de la corte milanesa de Ludovico Sforza (il Moro).
Rhombicuboctahedron
Ilustración de Leonardo da Vinci para "De Divina Proportione" de Luca Pacioli.
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Articulo vinculado
"Sección aurea ..."
Otras Obras de Luca Pacioli en materia de GEOMETRIA
_ Tractatus mathematicus ad discipulos perusinos, entre 1477 y 1480 mientras enseñó en la Universidad de Perugia.
_ Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita (Venecia, 1494)
_ De viribus quantitatis, sobre matemáticas y magia (1496–1508),
Ilustración de Leonardo da Vinci para "De Divina Proportione" de Luca Pacioli.
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"Sección aurea ..."
Otras Obras de Luca Pacioli en materia de GEOMETRIA
_ Tractatus mathematicus ad discipulos perusinos, entre 1477 y 1480 mientras enseñó en la Universidad de Perugia.
_ Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita (Venecia, 1494)
_ De viribus quantitatis, sobre matemáticas y magia (1496–1508),
_ traducción de los Elementos de Euclides (Geometria, Venecia, 1509)
La Divina Proporción, la Proporción Aurea, ha sido desde sus inicios, extremadamente influyente en las Artes, siendo aplicada en las distintas disciplinas de forma regular. En La Arquitectura, como primera de Las Bellas Artes, en la composición de fachadas y plantas, estas proporciones han sido tenidas en cuenta de diferentes formas.
GEOMETRIA PROYECTIVA
Al descubrir la perspectiva se crea la necesidad de establecer las bases para la nueva forma de Geometría que esta implica: la Geometría Proyectiva.
fresco de la Última Cena de Leonardo da Vinci (1494-98).
En esta imagen se representa la realidad con sistemas gráficos que introducen ya la idea de "profundidad", estableciendo sensaciones de le lejanía o cercanía.
Se logran estos efectos con el sistema de representación cónica.
NOTA
En Pintura, en el esfuerzo de representar la realidad, y la naturaleza, de forma que a nuestra vista se interprete como verosímil, o "igual" a lo real, los artistas desarrollaron diferentes técnicas artísticas y métodos de dibujo.
La base geométrica de las imágenes se tornó en una parte fundamental de la obra, ya que su correcta construcción previa posibilita formas adecuadas.
Románico
Tabla de san Miguel, realizada por el maestro de Soriguerola a finales del siglo XIII Conservada en el Museo Nacional de Arte de Cataluña
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Última Cena frontal de Soriguerola s XIII
Imagen tomada de http://mpart.es/pintura-romanica
Nótese como la imagen presenta una solución simbólica y narrativa, pero no reproduce la imagen de la realidad. La perspectiva no se utiliza.
Gótico
El matrimonio Arnolfini (1434)
Jan Van Eyck
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The Virgin of chancellor Rolin. (1435 ?)
Jan Van Eyck
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Notese, como en estos primeros pasos en los que en la pintura se usa "la profundidad de escena", aun se presentan algunos puntos conflictivos y en determinados elementos se producen imágenes extrañas. La imagen no parece que sea real.
Los principios fundamentales de la geometría Proyectiva no aparecerán hasta el siglo XIX, desarrollados por Gaspard Monge (1746, Beaune -1818, Paris) y de Jean-Victor Poncelet (1788, Metz- 1867, Paris) , estableciéndose la geometría descriptiva.
MONGE
Monge es considerado el inventor de la geometría descriptiva, desarrollando en su primera publicación en el año 1799, el sistema diédrico, sistema de representación también conocido como sistema Monge.
PONCELET
Principio de dualidad o de Poncelet
Principio de dualidad o de Poncelet
"Todo enunciado de geometría proyectiva plana permanece válido si se sustituyen los puntos por rectas, las rectas por puntos, la concurrencia de rectas por la colineación de puntos, etc. y viceversa."
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
La geometría descriptiva es la geometría que nos permite representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional.
Existen diferentes sistemas de representación que sirven a este fin, el sistema diédrico, el sistema de planos acotados, y los sistemas perspectivos: la perspectiva cónica, la perspectiva axonométrica, y la perspectiva caballera.
Puede decirse que en Arquitectura el sistema diédrico es el fundamento del sistema básico de plantas alzados y secciones, y los demás, complementan esas soluciones.
La geometría Descriptiva se formaliza como una herramienta grafica fundamental para definir los elementos arquitectónicos, estableciéndose desde su inicio un Dibujo Técnico con sistema de representación avanzado para arquitectura. El sistema inicial se perfecciona y adecua para la Arquitectura hasta alcanzar altas cotas de sofisticación y utilidad.
Hemos de considerar que este dibujo arquitectónico es parte de un proceso con altas repercusiones económicas, y que uso se engloba en el trabajo proyectual cuyo principal objeto es primero poder realizar complejos análisis, pruebas y comprobaciones teóricas sobre formato papel, evitando el uso de costosos modelos materiales, y después ser el documento definitorio de bien para su construcción, y la base documental para tramitar toda clase de autorizaciones o formalizar todo tipo de contratos.
Alzado y planta de la Puerta de Recoletos. Dibujo de Juan de Villanueva para su ingreso en la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando. Año 1756. Museo de Historia de Madrid.
Proyecto de hotel (casa baños)
C/Arenal c.v. Celenque
(1838-1840)
Antonio Zabaleta (1803, Madrid - 1864, Madrid)
Imágenes tomadas de Historia de la ETSAM
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Dibujo técnico en Arquitectura
Es cierto que de forma intuitiva el dibujo arquitectónico comenzó muchísimo antes, en los albores mismos de la civilización, pero es en el XIX cuando se teorizan adecuadamente esas prácticas gráficas.
Es cierto que de forma intuitiva el dibujo arquitectónico comenzó muchísimo antes, en los albores mismos de la civilización, pero es en el XIX cuando se teorizan adecuadamente esas prácticas gráficas.
GEOMETRIA CARTESIANA
RENÉ DESCARTES
(La Haye en Touraine, Turena, 1596-Estocolmo, Suecia, 1650) filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica.
René Descartes (1536-1650) Retrato.
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El tratado "El Discurso del Método" de René Descartes, publicado en 1637, estableció una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
de René Descartes (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences) / 1637
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En 1637 se publicó el "Discurso del método para dirigir bien la razón y hallar la verdad en las ciencias, seguido de tres ensayos científicos: La Geometría, Dióptrica y Los meteoros.
LA GEOMETRIE
DE RENÉ DESCARTES
NUEVOS METODOS y GEOMETRIA CONTEMPORANEA
La geometría algebraica, el calculo infinitesimal, la geometría diferencial, los sistemas de geometría no euclídea, la geometría no euclidiana, la geometría intrínseca, etc... , desarrollan y establecen nuevos paradigmas del espacio geométrico, posibilitando complejas formulaciones gráficas, que algunas arquitecturas contemporáneas incorporan en sus proyectos.
LA ARQUITECTURA Y LA GEOMETRIA
.
San Lorenzo EL REAL del Escorial. Arquitecto Juan de Herrera.
Grabado según Planchas del grabador flamenco Pedro Perret, 1589
PEDRO PERRET
(Amberes, c. 1555 - Madrid, 1625)
PEDRO PERRET
(Amberes, c. 1555 - Madrid, 1625)
Grabador flamenco al servicio de Felipe II
Los avances en Geometría, y el establecimiento de las Leyes y métodos de la Geometría Descriptiva, fundamentaron las bases de dibujo Técnico arquitectónico, de tal forma que dominado ese lenguaje gráfico universal, se reduce al mínimo las necesidades de descripciones literales, e independientemente de su escala y de las diferentes herramientas de ejecución, se posibilita una rápida y eficaz transmisión de ideas, concentrando en la superficie dibujada ingentes cantidades de información técnica y de percepciones, necesarias para los distintos pasos del proceso arquitectónico y constructivo de la edificación.
Proyecto de Rehabilitación el Monasterio de San Miguel de los Reyes para Prisión, 1874. barrio de Orriols, Valencia.
Arquitecto Tomás Aranguren Sanz (1828-1900).
Arquitecto Tomás Aranguren Sanz (1828-1900).
El sofisticado método grafico formulado por la Geometría Descriptiva, que precisa de un largo proceso formativo, ha posibilitado un fructífero intercambio de conocimientos arquitectónicos, a lo largo de todo el mundo y de forma atemporal, haciendo posible una comunidad internacional interrelacionada de arquitectos, y con ello un exitoso proceso de mejora colectiva del producto arquitectónico.
Pórtico de la Catedral de Buenos Aires, Argentina. Proyecto de modificación, Carlo Zucchi, 1835. (Archivio di Sato di Reggio Emi-lia AZ n 97)
En el proceso proyectual de arquitectura, se hace uso de las posibilidades graficas de la Geometría y del instrumental de Dibujo Técnico, existentes en cada momento, posibilitando arquitecturas diferentes e difícilmente ejecutables en otros momentos históricos.
Gimnasio Nacional de Yoyogi en Tokio.
Tokio Japón.
Arquitecto Kenzo Tange. 1964
Sección transversal Museo de Arte Sao Paulo. MASP.
Sao Paulo, Brasil.
Planta del Rolex Learning Center. Lausana. Suiza.
SANAA ARCHITECTES, Japón.
Concurso ganado en 2004
Inauguración 2010
Sede Fundación Louis Vuitton. Bois de Boulogne. Paris Francia.
F. Gerhy. EEUU. Proyecto 2014
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